حل تمرین صفحه 141 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 141 - تمرین 1 سلام! این سوال یک کاربرد مستقیم از **رابطه‌ی فیثاغورس** و **خاصیت خط مماس** است. ### گام اول: شناسایی اطلاعات و خاصیت‌ها 1. **مرکز دایره:** $\mathbf{O}$ 2. **نقطه‌ی بیرونی:** $\mathbf{B}$ 3. **فاصله‌ی مرکز تا نقطه‌ی $\mathbf{B}$:** $\mathbf{\overline{OB} = 13}$ سانتی‌متر (این وتر مثلث قائم‌الزاویه است). 4. **شعاع دایره:** $\mathbf{\overline{OA} = \overline{OC} = 5}$ سانتی‌متر. 5. **نقاط تماس:** $\mathbf{A}$ و $\mathbf{C}$. 6. **خاصیت مماس:** پاره‌خط‌های $\mathbf{BA}$ و $\mathbf{BC}$ مماس بر دایره هستند. طبق خاصیت مماس، شعاع رسم شده به نقطه‌ی تماس، بر مماس عمود است. بنابراین مثلث $\mathbf{OAB}$ و $\mathbf{OCB}$، **قائم‌الزاویه** هستند. ($\mathbf{\hat{A} = 90^{\circ}}$ و $\mathbf{\hat{C} = 90^{\circ}}$) 7. **هدف:** محاسبه‌ی فاصله‌ی $\mathbf{B}$ از نقاط تماس، یعنی $\mathbf{\overline{AB}}$ (که در شکل با $\mathbf{x}$ نشان داده شده) و $\mathbf{\overline{BC}}$ (که در شکل با $\mathbf{y}$ نشان داده شده). ### گام دوم: محاسبه‌ی طول مماس ($\mathbf{x}$) با استفاده از رابطه‌ی فیثاغورس ما مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\mathbf{OAB}$ را در نظر می‌گیریم. وتر این مثلث، $\mathbf{\overline{OB}}$ است. رابطه‌ی فیثاغورس: **(وتر)$^{۲}$ = (ضلع اول)$^{۲}$ + (ضلع دوم)$^{۲}$** $${ \overline{OB}^2 = \overline{OA}^2 + \overline{AB}^2 }$$ مقدارها را جایگذاری می‌کنیم: $${ 13^2 = 5^2 + x^2 }$$ $${ 169 = 25 + x^2 }$$ $${ x^2 = 169 - 25 }$$ $${ x^2 = 144 }$$ $${ x = \sqrt{144} }$$ $${ x = 12 }$$ ### گام سوم: محاسبه‌ی طول مماس ($\mathbf{y}$) در هندسه یک خاصیت مهم وجود دارد: > **طول دو پاره‌خط مماس که از یک نقطه‌ی خارج دایره رسم می‌شوند، با هم برابر است.** ($\mathbf{\overline{AB} = \overline{BC}}$) با توجه به هم‌نهشتی مثلث‌های $\mathbf{OAB}$ و $\mathbf{OCB}$ (حالت وتر و یک ضلع)، طول $\mathbf{y}$ نیز برابر $\mathbf{x}$ است: $${ y = x = 12 }$$ **پاسخ نهایی:** فاصله‌ی $\mathbf{B}$ از هر یک از نقاط تماس، $\mathbf{12}$ سانتی‌متر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 141 - سوال 2 این سوال به بررسی خواص مهم پاره‌خط‌های مماس رسم شده از یک نقطه‌ی خارجی به دایره می‌پردازد. ### الف) اثبات تساوی طول دو مماس ($\mathbf{\overline{O'A} = \overline{O'B}}$) **دلیل:** این تساوی از هم‌نهشتی دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی $\mathbf{O'AO}$ و $\mathbf{O'BO}$ نتیجه می‌شود. 1. **ساختارهای هندسی:** می‌دانیم که شعاع در نقطه‌ی تماس بر خط مماس عمود است. پس $\mathbf{\hat{A} = 90^{\circ}}$ و $\mathbf{\hat{B} = 90^{\circ}}$. 2. **وتر و ضلع مشترک:** پاره‌خط $\mathbf{\overline{O'O}}$ وتر مشترک هر دو مثلث قائم‌الزاویه است. 3. **شعاع‌های برابر:** $\mathbf{\overline{OA} = \overline{OB}}$ (هر دو شعاع دایره هستند). 4. **هم‌نهشتی:** بر اساس حالت هم‌نهشتی **وتر و یک ضلع** $(\mathbf{W.D})$، دو مثلث هم‌نهشت هستند: $${ \mathbf{\triangle O'AO} \cong \mathbf{\triangle O'BO} }$$ 5. **نتیجه:** از هم‌نهشتی، اجزای متناظر برابرند؛ بنابراین طول دو مماس برابر است: $${ \mathbf{\overline{O'A} = \overline{O'B}} }$$ ### ب) اثبات نیمساز بودن پاره‌خط $\mathbf{\overline{OO'}}$ **دلیل:** نیمساز بودن $\mathbf{\overline{OO'}}$ به این معنی است که زاویه‌ی $\mathbf{\hat{O}}$ به دو زاویه‌ی برابر تقسیم شده است، یعنی $\mathbf{\angle AO'O = \angle BO'O}$. 1. **استفاده از هم‌نهشتی (الف):** چون در قسمت (الف) ثابت کردیم که $\mathbf{\triangle O'AO} \cong \mathbf{\triangle O'BO}$. 2. **زوایای متناظر:** از هم‌نهشتی این دو مثلث، زوایای متناظر آن‌ها نیز برابر است. * زاویه‌ی $\mathbf{\angle AO'O}$ در مثلث $\mathbf{O'AO}$ با زاویه‌ی $\mathbf{\angle BO'O}$ در مثلث $\mathbf{O'BO}$ برابر است. $${ \mathbf{\angle AO'O = \angle BO'O} }$$ 3. **نتیجه:** چون $\mathbf{\overline{OO'}}$، زاویه‌ی $\mathbf{\hat{O}'}$ (در متن سوال به اشتباه $\mathbf{\hat{O}}$ آمده است، ولی از روی شکل و منطق هندسی $\mathbf{\hat{O}'}$ است) را به دو زاویه‌ی برابر تقسیم کرده است، پس $\mathbf{\overline{OO'}}$ **نیمساز** زاویه‌ی $\mathbf{\hat{O}'}$ است. **توجه:** پاره‌خط $\mathbf{\overline{OO'}}$ همچنین نیمساز زاویه‌ی مرکزی $\mathbf{\hat{O}}$ ($\mathbf{\angle AOB}$) نیز هست، یعنی $\mathbf{\angle AOO' = \angle BOO'}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 141 - تمرین 3 این مسئله درباره‌ی یک مقطع دایره‌ای از یک کاسه‌ی کروی است و با استفاده از خاصیت **عمودمنصف وتر** حل می‌شود. ### گام اول: شناسایی مقادیر و روابط 1. **دایره:** مقطع کاسه یک دایره به مرکز $\mathbf{O}$ است. 2. **شعاع کاسه/دایره:** پاره‌خط $\mathbf{\overline{OA}}$ (یا $\mathbf{\overline{OB}}$) شعاع دایره است. طبق شکل $\mathbf{\overline{OA} = 13}$ سانتی‌متر. 3. **سطح آب (وتر):** $\mathbf{\overline{AB}}$ یک وتر در دایره است. طول آن $\mathbf{\overline{AB} = 24}$ سانتی‌متر. 4. **عمود از مرکز:** پاره‌خط $\mathbf{\overline{OC}}$ از مرکز بر وتر $\mathbf{\overline{AB}}$ عمود شده است (علامت $90^{\circ}$ در $\mathbf{C}$). 5. **خاصیت عمودمنصف وتر:** خطی که از مرکز دایره بر وتر عمود می‌شود، آن وتر را نصف می‌کند. پس نقطه‌ی $\mathbf{C}$ وسط $\mathbf{\overline{AB}}$ است. 6. **هدف:** محاسبه‌ی حداکثر عمق آب ($\mathbf{x}$)، که برابر با $\mathbf{\overline{CD}}$ است. ### گام دوم: محاسبه‌ی طول $\mathbf{\overline{AC}}$ و $\mathbf{\overline{CB}}$ چون $\mathbf{\overline{AB}} = 24$ و $\mathbf{C}$ وسط آن است: $${ \overline{AC} = \overline{CB} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm} }$$ ### گام سوم: محاسبه‌ی فاصله‌ی مرکز تا سطح آب ($\mathbf{\overline{OC}}$) مثلث $\mathbf{OAC}$ یک مثلث قائم‌الزاویه در $\mathbf{C}$ است. از رابطه‌ی فیثاغورس برای پیدا کردن $\mathbf{\overline{OC}}$ استفاده می‌کنیم: * وتر: $\mathbf{\overline{OA} = 13}$ * ضلع معلوم: $\mathbf{\overline{AC} = 12}$ * ضلع مجهول: $\mathbf{\overline{OC}}$ $${ \overline{OA}^2 = \overline{OC}^2 + \overline{AC}^2 }$$ $${ 13^2 = \overline{OC}^2 + 12^2 }$$ $${ 169 = \overline{OC}^2 + 144 }$$ $${ \overline{OC}^2 = 169 - 144 }$$ $${ \overline{OC}^2 = 25 }$$ $${ \overline{OC} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} }$$ ### گام چهارم: محاسبه‌ی عمق آب ($\mathbf{x}$) پاره‌خط $\mathbf{\overline{OD}}$ نیز شعاع دایره است و $\mathbf{\overline{OD} = 13}$ سانتی‌متر. پاره‌خط $\mathbf{\overline{OD}}$ از دو بخش $\mathbf{\overline{OC}}$ و $\mathbf{\overline{CD}}$ تشکیل شده است: $${ \overline{OD} = \overline{OC} + \overline{CD} }$$ عمق آب همان $\mathbf{\overline{CD}}$ است که با $\mathbf{x}$ نشان داده شده: $${ 13 = 5 + x }$$ $${ x = 13 - 5 }$$ $${ \mathbf{x = 8 \text{ cm}} }$$ **پاسخ نهایی:** حداکثر عمق آب $\mathbf{8}$ سانتی‌متر است.